Количество тригонометрических формул в школьном курсе математики поражает воображение. Нужно ли все их учить наизусть? Нет, не нужно — в (почти) любой момент мы можем заглянуть в википедию или справочник. Однако есть пара-тройка ситуаций, когда интернета под рукой нет — это необитаемый остров и экзамен. Сегодня рассказ о том, как получить формулы двойного угла в такой экстремальной ситуации, каковой является отсутствие интернета, не пользуясь шпаргалками и подсказками соседей.
Способ 1
Вспомним, какие углы отличаются в два раза — верно, центральный угол ровно в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Учитывая, что тригонометрические функции определяются для единичной окружности, изобразим эти углы следующим образом:
Обозначим вписанный угол x, тогда центральный угол составит 2x.
Используя определения синуса и косинуса, найдем катеты большого треугольника — это произведение гипотенузы (она равна 2) на синус угла x для противолежащего катета и на косинус угла x для прилежащего катета.
Все эти факты отображены на рисунке, набросать который не потребует ни усилий, ни времени.
Дополняем рисунок:
А теперь просто списываем формулы с рисунка.
Фокусируемся на светло-сером треугольнике — противолежащий катет равен произведению синуса угла на гипотенузу:
Снова смотрим на светло-серый треугольник — прилежащий катет равен произведению косинуса угла на гипотенузу:
Отсюда мгновенно с использованием основного тригонометрического тождества получаем еще три формулы:
Формула для тангенса получается делением на квадрат косинуса:
Из формул двойного угла элементарно получаются формулы половинного угла:
Способ 2
Разовьем успех. Построим прямоугольный треугольник с острым углом x и гипотенузой, равной 1 (на рисунке белый); затем на катетах построим два голубых прямоугольных треугольника, тоже с углами, равными x; серый треугольник получится сам собой:
Белый и голубые треугольники образуют фигуру, которая называется трапецией Гарфилда.
Поступим аналогично: распишем длины катетов через синус и косинус угла x. А теперь приравниваем верхнюю формулу нижней, а левую — правой:
Получили формулы двойного угла без единой выкладки, используя только определения синуса и косинуса.
Выводы
Итак, из курса тригонометрии необходимо запомнить:
1) определение синуса, косинуса, тангенса;
2) ОТТ — основное тригонометрическое тождество, которое представляет собой теорему Пифагора, записанную в терминах синуса и косинуса:
Десятки тригонометрических формул можно не учить и не выводить, а реконструировать при необходимости по рисунку.
Сохранить в Pdf