Методическое замечание. Элементы теории вероятностей даются в школьной программе довольно поздно — в девятом классе. А ведь изучение этой увлекательной темы вполне доступно значительно раньше — малыши с удовольствием бросают игральные кубики и считают вероятности, на практике применяя все арифметические действия. Эта тема могла бы заменить скучные раскрытия скобок и вынесения множителей в классах с непрофильной математикой. В то же время в девятом классе гораздо уместнее подумать о выборе будущей профессии, а не о стратегиях игры в покер.
Ниже приводится глава из книги. Материал доступен самым младшим школьникам.
Источник: Эдвард Шейнерман. Путеводитель для влюбленных в математику (2018)
Полезен и практический вывод: не спешите избавляться от таких качеств, как честность, способность к состраданию, трудолюбие, которые окружение считает слабостями. Лучше смените окружение.
Нетранзитивные игральные кости
Мир одержим выстраиванием рейтингов. Мы составляем рейтинги атлетов, спортивных команд, больниц, ресторанов, фильмов, поп-музыки, студентов, коллег, городов, работы, машин, и т. д., и т. д. Нам нравится знать «самое-самое» – то, что входит в «первую десятку».
Это все чепуха, забавная чепуха, но тем не менее. Среди прочего чепуха происходит от того, насколько субъективна методология оценки. Если определенный ресторан в вашем городе признан лучшим, это не обязательно ваш любимый ресторан. Ваши предпочтения могут отличаться от суждений ресторанных критиков, а их взгляды на один и тот же вопрос зачастую прямо противоположны.
Можно выбрать объективную систему оценивания и все равно получать ничтожные результаты: например, оценивать фильмы по сумме выручки от их проката – это объективно и поддается подсчету. Можно аргументировано доказать: чем лучше фильм, тем больше людей жаждут заплатить за то, чтобы увидеть его. Но бывает такое, что фильм, сорвавший кассу, навевает на вас скуку, а малобюджетный инди-фильм западает в душу. Выручка от проката обычно говорит скорее о маркетинге, а не качестве картины.
Но, предположим, мы преодолели субъективность и достигли всеобщего соглашения относительно того, как сравнивать конкурентов. Попробуем выпарить идею ранжирования до ее математической сути. Улетучится ли тогда вся чепуха?
Две игральные кости
Сыграем в простую игру. Каждый бросит кубик, и у кого выпадет больше очков, тот выиграет. Если мы возьмем два обыкновенных кубика, где грани пронумерованы от одного до шести, то нет смысла говорить, что один кубик чем-то лучше другого. Они одинаковые.
Теперь сменим числа на гранях. Назовем наши игральные кости A и B.
Какая из них лучше, A или B? Какую вы предпочтете?
Для того чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим все вероятности: как могут выпасть игральные кости? Если игральная кость A выпала числом 2 вверх, то для сравнения есть шесть вариантов того, как может выпасть игральная кость B. Если выпало число 3, вариантов для сравнения опять-таки шесть. Таким образом, есть 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 6 × 6 = 36 возможностей, и все они равновероятны. Иногда побеждает обладатель игральной кости A, иногда – обладатель игральной кости B (все числа на гранях разные, поэтому нет варианта сыграть раунд вничью). Кто выигрывает чаще?
Составим схему, включающую все 36 возможных комбинаций, где отмечено, кто выигрывает в каждом отдельном случае, A или B.
Становится очевидно, что игральная кость B лучше. В борьбе один на один B одолевает A чаще, чем наоборот. На схеме видно, что A побеждает в 15 случаях из 36, в то время как B – в 21 случае из 36.
Профессиональные игроки скажут, что шансы на победу A равны 15 против 21, а шансы на победу B равны 21 против 15. Вероятность того, что выиграет A, равна 15/36 (или 42 %), вероятность того, что выиграет B, равна 21/36 (или 58 %).
Как ни назови это преимущество, но B явно лучше A.
Соперник
Добавим еще одну игральную кость. Внимание, появился новый соперник! Пусть на грани C нанесены числа, указанные на схеме.
C рьяно вызывает на бой B. Кости кидают, и побеждает та, где выпало наибольшее число. Какая из них лучше, B или C? Как и раньше, начертим схему и посмотрим, какая игральная кость имеет больше шансов на победу.
Мы видим, что C выигрывает гораздо чаще, чем B. Вероятность победы C равна 25/36 (около 69 %), в то время как B побеждает с вероятностью 11/36 (около 31 %).
В схватке один на один C лучше B, а B лучше A.
Значит, C лучше всех, верно?
Триумф неудачника
Казалось бы, среди трех игральных костей A слабее всех, а C сильнее всех. Что будет, если C сразится с A? Разумеется, C победит?
Начертим снова схему всех возможностей:
Посмотрите! A лучше C. Игральная кость A выигрывает с вероятностью 21/36 (около 58 %), а C – с вероятностью 15/36 (около 42 %).
Мы пришли к трем ошарашивающим выводам:
– B лучше A;
– C лучше B;
– A лучше C.
Ни одну из игральных костей нельзя назвать «лучшей», и ранжировать их бессмысленно.
Сколько еще рейтингов в нашей жизни лишены смысла?
Итак, бинарное отношение R на множестве X называется транзитивным, если для любых трёх элементов a,b,c из выполнения отношений a R b и b R c следует выполнение отношения a R c.
Пример транзитивных отношений: 5