Задача. Пусть c — длина гипотенузы прямоугольного треугольника, длины двух других сторон треугольника равны a и b.
Доказать, что
Когда выполняется равенство?
(Канадская математическая олимпиада, 1969, задача 3)
Рассмотрим трапецию Гарфилда такого вида:
Неравенство мгновенно доказано: верхняя сторона трапеции по теореме Пифагора равна 
и она не может быть меньше нижней стороны трапеции a+b. Равенство достигается, только если нижняя и верхняя стороны параллельны, то есть a=b.
Отсюда, кстати, следует, что для любого угла 
Разделим обе части доказанного неравенства на 2 и вспомним, что 
, получим частный случай неравенства о средних:
Слева — среднее арифметическое, справа — среднее квадратичное двух чисел. Равенство достигается в случае равенства a и b.
Точно также без слов, опираясь только на теорему Пифагора, докажем неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом:
Если положить a=x, b=1/x, получим
Используя еще одну трапецию Гарфилда, это неравенство можно улучшить:
Сохранить в Pdf