Выберем произвольные положительные числа p и q, и положив один из катетов равным 1, построим следующую трапецию Гарфилда:
Очевидно, что
И поскольку 
, получаем тождество Эйлера для арктангенсов:
Когда p=q=1, получаем частный случай, который мы уже рассматривали в заметке про число пи:
Когда p=2, q=1, получаем
Подставляем в предыдущее тождество, получаем формулу Хаттона:
С помощью формулы Хаттона, в сочетании с разложением арктангенса в ряд, в 1847 году датский математик Томас Клаузен (Clausen) вычислил 248 знаков числа π (напомню, компьютеров тогда не было).
Обозначим Fn последовательность чисел Фибоначчи, F1=F2=1, Fn+1=Fn+Fn-1. Получим тождество:
Для доказательства принять p=F2n, q=F2n-1 в тождестве Эйлера и использовать тождество Кассини
Литература
- Rex H. Wu. Euler’s Arctangent Identity — Mathematics Magazine, March 31, 2004
- Ed Sandifer. How Euler Did It — February 2009
- Icons of Mathematics: An Exploration of Twenty Key Images. Claudi Alsina, Roger B. Nelsen, 2011. Скачать
- Cameos for Calculus, Visualization in the First-Year Course-MAA. Roger B. Nelsen, 2015. Скачать
Сохранить в Pdf