Возьмем конструкцию из второй части заметки про формулы двойного угла и получим с ее помощью несколько красивых формул для числа пи.
Разобьем прямоугольник на клеточки 2 х 3 и впишем треугольник следующим образом:
Все четыре треугольника — прямоугольные.
Гипотенуза желтого треугольника по теореме Пифагора равна корню из 5.
Гипотенуза зеленого треугольника тоже равна корню из 5 (это потому что зеленый и желтый треугольники равны).
Гипотенуза синего треугольника равна корню из 10.
Проверяем выполняется ли теорема Пифагора для белого треугольника: 5+5=10, значит, белый треугольник тоже прямоугольный и заодно равнобедренный.
Такая конструкция из трех прямоугольных треугольников ABCF называется трапецией Гарфилда. Джеймс Гарфилд (1831–1881):
Джеймс Гарфилд был одним из самых незаурядных президентов США.
В юности он успел побывать боцманом и плотником, позже работал адвокатом, учителем, директором одного из высших учебных заведений. Он придумал и опубликовал своё доказательство теоремы Пифагора.
Вспоминаем, что тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему. Значит,
tg ∠EFC = 1
tg ∠AFE = 2
tg ∠DFC = 3
В сумме эти углы составляют развернутый угол, отсюда:
Сравните с доказательством этой формулы, опубликованным на math.stackexchange.com.
Представим аналогичным образом угол C как сумму трех углов и получим:
И теперь представим угол EFC как сумму двух углов:
Трапецию Гарфилда можно применить для вывода формулы синуса и косинуса суммы углов.
Примем гипотенузу серого треугольника равной 1. Распишем катеты используя определения синуса и косинуса.
Вот и все, осталось списать формулы с рисунка:
И еще две формулы получим элементарной заменой угла β на -β:
Добавим в копилку еще четыре тригонометрические формулы, которые учить не надо — в любой момент вы их восстановите за одну минуту с помощью трапеции Гарфилда.
Домашнее задание. Получить с помощью трапеции Гарфилда формулы для тангенса суммы и разности двух углов.
Доказательство Гарфилда теоремы Пифагора на с. 161 журнала New-England Journal of Education, апрель 1876:
Обратите внимание на нотацию: вместо скобок черта над выражением.
Сохранить в Pdf